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2025-01-30 更新
Slow Manifolds for PDE with Fast Reactions and Small Cross Diffusion
Authors:Laurent Desvillettes, Christian Kuehn, Jan-Eric Sulzbach, Bao Quoc Tang, Bao-Ngoc Tran
Multiple time scales problems are investigated by combining geometrical and analytical approaches. More precisely, for fast-slow reaction-diffusion systems, we first prove the existence of slow manifolds for the abstract problem under the assumption that cross diffusion is small. This is done by extending the Fenichel theory to an infinite dimensional setting, where a main idea is to introduce a suitable space splitting corresponding to a small parameter, which controls additional fast contributions of the slow variable. These results require a strong convergence in $L^\infty(0,T;H^2(\Omega))$, which is the subtle analytical issue in fast reaction problems in comparison to previous works. By considering a nonlinear fast reversible reaction in one dimension, we successfully prove this convergence and therefore obtain the slow manifold for a PDE with fast reactions. Moreover, the obtained convergence also shows the influence of the cross diffusion term and illuminates the role of the initial layer. Explicit approximations of the slow manifold are also carried out in the case of linear systems.
通过结合几何和分析方法，我们对多尺度问题进行了研究。更具体地说，对于快慢反应-扩散系统，我们在假设交叉扩散较小的情况下，首先证明了抽象问题慢流形的存在性。这是通过将芬切尔理论扩展到无限维设置来完成的，其主要思想是通过引入一个适合的空间分裂来对应一个小参数，该参数控制了慢变量的额外快速贡献。这些结果需要在L∞(0，T；H^2(Ω))中达到强收敛性，这是与之前的工作相比，快速反应问题中的微妙分析难题。通过考虑一维的非线性快速可逆反应，我们成功地证明了这一收敛性，从而获得了具有快速反应的部分微分方程的慢流形。此外，所获得的收敛性还显示了交叉扩散项的影响并阐明了初始层的角色。在线性系统的情况下，还对慢流形进行了显式近似。
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Summary
针对快慢反应扩散系统的问题，研究结合了几何和分析方法。在假设交叉扩散较小的情况下，对抽象问题慢流形的存在性进行了证明。通过扩展芬切尔理论到无限维环境，引入适合小参数的空间分割来控制慢变量的快速贡献，从而完成了证明。这对于快速反应问题中的解析问题是十分微妙的。通过考虑一维的非线性快速可逆反应，我们成功证明了收敛性，并为具有快速反应的偏微分方程获得了慢流形。此外，所获得的收敛性也显示了交叉扩散项的影响，并阐明了初始层的作用。在线性系统的情况下，还进行了慢流形的显式近似。
Key Takeaways
- 几何和分析方法被结合来解决快慢反应扩散系统的问题。
- 在小交叉扩散的假设下，证明了抽象问题的慢流形存在性。
- 通过扩展芬切尔理论到无限维环境，成功处理了慢流形的证明。
- 在偏微分方程中，证明了收敛性对于理解快速反应问题至关重要。
- 收敛性的证明揭示了交叉扩散项的影响以及初始层的作用。
- 对一维非线性快速可逆反应的成功处理对于理解收敛性具有重要性。
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